Teoria oczekiwanej użyteczności Daniela Bernoulliego

Jako ludzie, jesteśmy szczególnie ostrożni przy podejmowaniu ryzyka, gdy szansa na otrzymanie pewnej korzyści jest równa szansie na poniesienie straty, czyli gdy prawdopodobieństwo zysku równa się prawdopodobieństwu strat. Wynika to z faktu, że potencjalna utrata czegokolwiek wywołuje w nas, o wiele silniejsze pobudzenie emocjonalne niż równoważny zysk, co sprawia, że reagujemy intensywniej. Paradoks Petersburgski, o którym mowa, ujawnia, iż niechęć do ryzyka – nasza naturalna tendencja do unikania strat – często przeważa nad szansą osiągnięcia większych korzyści. Ta głęboko zakorzeniona postawa wpływa na nasze codzienne wybory, zmuszając nas do przyjmowania bardziej ostrożnych i konserwatywnych strategii, nawet wtedy, gdy obie możliwości zdają się być równie prawdopodobne.


Jak oceniamy ryzyko?
Z natury postrzegamy opcje ryzykowne jako mniej korzystne niż opcje o tej samej wartości, ale gwarantowane.
Przy ocenie decyzji istotną rolę odgrywa awersja do ryzyka – skłonność do unikania ryzykownych wyborów. Osoby o wysokiej awersji do ryzyka wybierają bezpieczniejsze opcje, nawet jeśli mogłyby osiągnąć większy zysk, podejmując ryzyko.
Rzecz jasna każdy z nas unika ryzyka w różnym stopniu. Chętniej i częściej podejmujemy ryzyko przy niewielkich stawkach, np. w grze rzutu monetą – w momencie w którym możemy zarówno zyskać jak i stracić niewielką sumę pieniędzy, jednak wraz ze wzrostem zarówno zysku jak i straty ryzyko to podejmujemy coraz rzadziej.
Ostatecznie wybieramy tę opcję, którą uznamy za atrakcyjniejszą, gdyż przyniesie nam największy zysk, przy czym zyskiem jest dla nas zarówno dodatkowa suma pieniędzy, jak i uniknięcie straty.


Jak to wygląda na przykładzie?
Każdej decyzji finansowej przypisujemy pewną subiektywną użyteczność którą może dla nas mieć. Oceniamy możliwe rezultaty, określamy prawdopodobieństwo ich wystąpienia, a następnie obliczamy wartość oczekiwaną.

Rozważmy dwie możliwości
1. Dostajesz 100 zł od razu.
2. Bierzesz udział w grze, w której rzut monetą decyduje o wygranej – orzeł daje 200 zł, reszka 0 zł.

Obliczanie wartości oczekiwanej:
Scenariusz 1: 100% szans na 100 zł → 100 x 1 = 100.
Scenariusz 2: 50% szans na 200 zł i 50% szans na 0 zł → 200 x 0,5 + 0 x 0,5 = 100.

Teoretycznie obie opcje są równoważne, jeżeli kierujemy się tylko statystyką. Jednak w rzeczywistości większość ludzi wybiera pewne 100 zł, co wynika z naszej awersji do ryzyka. Wszystko zgodnie z polskim przysłowiem: lepszy wróbel w garści niż sroka na dachu. Właśnie to wpływa na podejmowane przez nas decyzje finansowe w sytuacjach ryzyka.


Jak teoria odnosi się do wynagrodzeń?
Całkowita kwota pieniędzy nie jest równa całkowitej, ocenianej przez nas wartości, jaką jej przypisujemy i jaką z niej czerpiemy – ważniejsze jest, co dana suma dla nas oznacza. Ludzie nie postrzegają wzrostu dochodów liniowo; wraz ze wzrostem płacy postrzegana przez nas wartość każdej kolejnej złotówki maleje. W praktyce oznacza to, że:
Premia w wysokości 1000 zł będzie bardziej wartościowa dla osoby zarabiającej 3000 zł niż dla osoby o dochodzie 30 000 zł.

Przykład doskonale ilustruje funkcję użyteczności obliczoną przez Bernoulliego:



W przedstawionej tabeli widzimy, że użyteczność rośnie szybciej, gdy dysponujemy mniejszą kwotą. Przykładowo gdy nasze zasoby zwiększają się z 1 mln do 2 mln, doświadczamy wzrostu użyteczności aż o 20 jednostek. Natomiast przy wyższym stanie posiadania, gdy wartość kapitału rośnie z 9 mln do 10 mln, przyrost ten wynosi jedynie 4 jednostki, co wskazuje na coraz to mniejszy wpływ tej samej sumy 1 mln na naszą satysfakcję.


Porównanie inwestora bardziej i mniej doświadczonego
Przekład z inwestorem giełdowym dobrze ilustruje, jak teoria oczekiwanej użyteczności wpływa na podejmowanie ryzyka:

Wysoki kapitał a ryzyko:
Wraz ze wzrostem ilości posiadanego kapitału rośnie niechęć do podejmowania dalszego ryzyka, ponieważ znajdujemy się „na końcu tabeli”, a potencjalny wzrost użyteczności staje się niewielki. Nawet jeśli wysoki kapitał zapewnia lepsze zabezpieczenie w razie starty, dla nas wciąż najważniejsze pozostaje poczucie wynikające z użyteczności. Dlatego nie akceptujemy wysokiego ryzyka, jeżeli potencjalny zwrot użyteczności jest praktycznie nieodczuwalny (np. jedynie 4 jednostki). W efekcie angażowanie się w ryzykowne przedsięwzięcia, w których nasz kapitał znacząco przewyższa potencjalne zyski, jest dla nas bezcelowe.

Niski kapitał a ryzyko:
Sytuacja inwestora o niskim początkowym kapitale zmienia się diametralnie. Znajdując się na początku „tabeli użyteczności”, ma on przed sobą duży potencjał wzrostu. Dlatego będzie przejawiał największą chęć do podejmowania ryzyka, gdyż potencjalny zwrot użyteczności wyniesie (np. 20 jednostek) – oczywiście, że to ryzyko podejmie.


Podsumowując:
Subiektywna użyteczność: Ludzie kierują się tym, jak dana kwota wpływa na ich satysfakcję, a nie tylko jej wartością nominalną.
Malejąca wartość dodatkowej złotówki: Każda dodatkowa złotówka przynosi mniejszy wzrost satysfakcji, dlatego osoby o niskich dochodach cenią dodatkowe pieniądze bardziej niż osoby o wysokich.
Awersja do ryzyka: W sytuacjach ryzykownych często wybieramy opcję bezpieczną, gdyż potencjalne straty odczuwamy bardziej dotkliwie niż równoważne zyski.
Motywacja wynagrodzeń: Dodatkowa premia lub podwyżka ma większe znaczenie dla osób o niższych dochodach.